3.[顶点覆盖]已知 G 为一个无向图。给定一个 G 的一个顶点子集 U，当且仅当 G中的每一条边必有一个顶点属于 U 或者两个顶点都属于 U 时，称 U 是 G 的一个顶点覆盖（vertex cover），U 中顶点的数量是覆盖的大小(size)。 1）编写一个回溯算法寻找最小的顶点覆盖，并确定算法的复杂度。（伪代码即可） 2）编写一个最小耗费分支限界算法寻找最小的顶点覆盖，并确定算法的复杂度。-DPDK中文网

1）回溯算法寻找最小的顶点覆盖：

Initialize:
    min_cover_size = Infinity
    current_cover_size = 0
    current_cover = empty set

Backtracking(vertex v):
    if all edges are covered:
        if current_cover_size < min_cover_size:
            min_cover_size = current_cover_size
            minimum_cover = copy of current_cover
        return
    
    if v is a valid vertex:
        // Choose v and cover its adjacent vertices
        current_cover.add(v)
        for each neighbor u of v:
            cover(u) // Mark u as covered
        
        // Explore the next vertex
        for each vertex u after v:
            Backtracking(u)
        
        // Uncover the vertices and backtrack
        for each neighbor u of v:
            uncover(u) // Unmark u as covered
        current_cover.remove(v)

FindMinimumVertexCover(graph G):
    Initialize variables
    Sort vertices in some order (e.g., ascending degree order)
    Start from the first vertex and call Backtracking(1)
    
    Return minimum_cover and min_cover_size

该回溯算法通过递归地选择和取消选择顶点来搜索所有可能的顶点覆盖，并记录最小的覆盖大小和对应的覆盖集合。

算法复杂度：在最坏情况下，回溯算法需要遍历所有可能的顶点组合。设图G有n个顶点，则时间复杂度为O(2^n)，因为对于每个顶点，可以选择放入或不放入顶点覆盖中。

2）最小耗费分支限界算法寻找最小的顶点覆盖：

Initialize:
    min_cover_size = Infinity
    current_cover_size = 0
    current_cover = empty set

BranchAndBound(graph G):
    if all edges are covered:
        if current_cover_size < min_cover_size:
            min_cover_size = current_cover_size
            minimum_cover = copy of current_cover
        return
    
    v = selectVertexToBranch(G) // Select a vertex to branch on
    
    // Choose v and cover its adjacent vertices
    current_cover.add(v)
    for each neighbor u of v:
        cover(u) // Mark u as covered
        
    // Bound by the best possible solution so far
    if current_cover_size + heuristic() >= min_cover_size:
        return
    
    BranchAndBound(G) // Explore with v in the cover
    
    // Uncover the vertices and backtrack
    for each neighbor u of v:
        uncover(u) // Unmark u as covered
    current_cover.remove(v)
    
FindMinimumVertexCover(graph G):
    Initialize variables
    Sort vertices in some order (e.g., ascending degree order)
    
    BranchAndBound(G)
    
    Return minimum_cover and min_cover_size

该最小耗费分支限界算法通过选择一个顶点进行分支，并使用启发式函数来估计剩余未覆盖的边数，从而在搜索过程中剪枝。只有当当前覆盖集合比已知的最小覆盖集合要小且可能产生更好解时，才会继续探索。

算法复杂度：具体的时间复杂度取决于选择顶点和启发式函数的策略，但在最坏情况下，最小耗费分支限界算法的时间复杂度为指数级，即O(2^n)。

内容由零声教学AI助手提供，问题来源于学员提问